[*]
[*]
[*]

[*]


Kidolgozott feladatok






Feladat:

Legfeljebb hány olyan elektront lehet találni egy atomban, amelynek főkvantumszáma n=2? Válaszát indokolja!




Megoldás:

Az n főkvantumszámhoz az l mellékvantumszám n lehetséges értéke tartozik. Az l mellékvantumszám adott értékéhez az m mágneses kvantumszám 2n+1 értéke tartozhat. A Pauli-elv értelmében természetesen minden mágneses kvantumszám értékhez a spinkvantumszám két lehetséges értéke tartozhat. Tehát:

\begin{displaymath}
N=\sum_{l=0}^{n-1}{\sum_{m=-l}^{l}{2}}=\sum_{l=0}^{n-1}{2(2n+1)}=2n^{2}\end{displaymath}

Eredményül azt kaptuk, hogy a főkvantumszám adott n értékével egy atomon belül legfeljebb

N=2n2

elektron rendelkezhet. Ez n=2 esetében 8 elektront jelent.

(Ha valaki nem tudja az általános, N=2n2 formulát levezetni, az kiszámolhatja a konkrét, n=2-re vonatkozó értéket is.)










Feladat:

Hány fotont sugároz másodpercenként a 60W teljesítményű monokromatikus izzó, ha sárga fényének hullámhossza $\lambda =600$nm?




Megoldás:

Egy $\lambda =600$nm hullámhosszúságú foton $E_{\nu }=h\nu $ energiát képvisel. Az izzó másodpercenként $\Delta W=60$J energiát sugároz ki fotonok formájában. Tehát a másodpercenként kibocsátott fotonok száma:

\begin{displaymath}
N=\frac{\Delta W}{E_{\nu }}=\frac{\Delta W}{h\frac{c}{\lambda }}=
1,8\cdot 10^{20}\end{displaymath}










Feladat:

Számolja ki annak a fotonnak a hullámhosszát, amelynek tömege az elektron nyugalmi tömegével egyezik meg! Milyen sugárzásnak nevezzük az ilyen fotonokból álló sugárzást?




Megoldás:

A foton m tömege és E energiája közt fennáll az

E=m c2

összefüggés.

Itt a feladat szerint m az elektron tömegével egyezik meg, c pedig a fénysebesség értéke.

Továbbá, ismerünk egy kapcsolatot a foton f frekvenciája és energiája közt:

E=h f

ahol h a Planck-állandó. E két egyenlet összevetésével:

\begin{displaymath}
f=\frac{m c^2}{h}\end{displaymath}

Tetszőleges hullámmozgásra egy egyszerű kapcsolat van a frekvencia, a $\lambda$ hullámhossz és a terjedési sebesség között:

\begin{displaymath}
c=\lambda f\end{displaymath}

Az eddigiekből egyszerű átrendezéssel

\begin{displaymath}
\lambda=\frac{h}{m c}\end{displaymath}

következik. Ide $h=6,6\cdot 10^{-34}\,\mbox{J\,s}$, $m=9\cdot
10^{-31}\,\mbox{kg}$ és $c=3\cdot 10^8\,\mbox{m}\mbox{s}^{-1}$-t beírva:

\begin{displaymath}
\lambda=2,44\cdot 10^{-12}\,\mbox{m}\end{displaymath}

adódik.

Ez a hullámhossz a $\gamma$-sugárzás hullámhossztartományába esik.










Feladat:

Egy 1mg-os szúnyog esetében szeretnénk kimutatni az anyag hullámtermészetét. Legfeljebb mekkora sebességgel szabad mozognia, ha azt akarjuk, hogy hullámhossza legalább 1mm legyen? Miért nem tud ilyan lassan mozogni?




Megoldás:

Ismeretes, hogy

\begin{displaymath}
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m v}\end{displaymath}

azaz ha $\lambda\gt,001\,{\rm m}$, akkor

\begin{displaymath}
v<\frac{h}{m 0,001\,{\rm m}}=6,6\cdot 10^{-25}\,\frac{{\rm m}}{{\rm s}}\end{displaymath}

Ilyen lassan pedig több ok miatt sem lehet repülni. Például az ekvipartíció tétele miatt a szúnyog mozgási energiája legalább (3/2)k T, azaz a hőmozgásból adódó v0 sebességre igaz, hogy (3/2)k T=(1/2)m v02. Innét $T=300\,{\rm K}$ esetére $v_0\approx10^{-7}\,{\rm m}/{\rm s}$ adódik. Ez pedig sok nagyságrenddel nagyobb, mint a fenti sebesség, tehát már a hőmozgás miatt olyan nagy sebesség alakul ki, hogy a de Broglie-hullámhossz nem észlelhető makroszkópikus mérésekkel.





[*]
SZIF-MML